Dinâmica de fluidos

A dinâmica de fluidos é o estudo do movimento dos fluidos (líquidos e gases) e das forças que atuam neles. Matematicamente, ela é descrita por equações diferenciais parciais que representam conservação de massa, momento e energia. O núcleo da teoria está nas Equações de Navier-Stokes.

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✅ 1. Conservação da Massa (Equação da Continuidade)

Para um fluido incompressível (densidade constante):

$$\nabla \cdot \vec{v} = 0$$

• $\vec{v}$ = vetor velocidade do fluido

• $\nabla \cdot \vec{v}$ = divergência do campo de velocidades

• Isso significa que o que entra num volume é igual ao que sai (sem acúmulo).

Se for compressível:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0$$

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✅ 2. Conservação da Quantidade de Movimento (Navier-Stokes)

Baseado na Segunda Lei de Newton ($F = ma$) aplicada a um fluido:

$$\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \rho \vec{g}$$

Onde:

• $\rho$ = densidade

• $\vec{v}$ = velocidade

• $p$ = pressão

• $\mu$ = viscosidade dinâmica

• $\vec{g}$ = aceleração da gravidade

Interpretação:

• Termo à esquerda = variação da quantidade de movimento (inércia)

• Termos à direita = forças (pressão, viscosidade, gravidade)

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✅ 3. Conservação de Energia

Para considerar temperatura e calor, usamos a equação de energia (que envolve entalpia e condução térmica):

$$\rho \frac{D e}{D t} = -p \nabla \cdot \vec{v} + \Phi + \nabla \cdot (k \nabla T)$$

Onde:

• $e$ = energia interna específica

• $k$ = condutividade térmica

• $T$ = temperatura

• $\Phi$ = dissipação viscosa

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✅ Equações-Chave na Prática

• Lei de Bernoulli (simplificação para escoamento ideal):

$$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constante}$$

Mostra a troca entre pressão, energia cinética e energia potencial.

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✅ Fenômenos importantes:

• Número de Reynolds:

$$Re = \frac{\rho v L}{\mu}$$

Determina se o escoamento é laminar (Re < 2000) ou turbulento (Re > 4000).

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